Transform

byml2024-08-24GAMES101

向量和矩阵

向量点乘：获取投影、获取夹角
向量叉乘：判断左右、判断内外
- 叉乘的矩阵形式： $a \times b = (\begin{matrix} 0 & - a_{z} & a_{y} \\ a_{z} & 0 & - a_{x} \\ - a_{y} & a_{x} & 0 \end{matrix}) \times b$

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

[\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

矩阵无法表示平移变换，只有 $[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + [\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix}]$ 的形式，才能表示包含平移变换在内的二维变换
为了统一变换的形式，引入第三个维度处理平移变换：
- 2D Point $= (x, y, 1)^{T}$
- 2D Vector $= (x, y, 0)^{T}$
在此视角下，平移变换变为：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ w^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + y_{y} \\ 1 \end{matrix}]

通过第三维的 $01$ 取值区分点和向量，具有如下性质：
- 向量 + 向量 = 向量
- 点 - 点 = 向量
- 点 + 向量 = 向量
- 对“点 + 点”的情况进行扩充定义： $(\begin{matrix} x \\ y \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix} x / w \\ y / w \\ 1 \end{matrix}) (w \neq 0)$ ，故“点 + 点 = 中点”

所有的仿射变换：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + [\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix}]

都可以被写成齐次坐标下的矩阵乘法：

[\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + y_{y} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b & t_{x} \\ c & d & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]

具体到变换：

S (s_{x}, s_{y}) = [\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

R (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

T (t_{x}, t_{y}) = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

变换的组合等价于不断左乘矩阵，因此复合变换的顺序是从右向左施加，例如 $T (1, 2) \cdot R (45 °) \cdot \vec{p}$ 是先旋转再平移。

3D Point $= (x, y, z, 1)^{T}$
3D Vector $= (x, y, z, 0)^{T}$
扩充定义点： $(x, y, z, w)^{T} = (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}, 1)^{T} (w \neq 0)$
任何仿射变换也一样可以写成齐次坐标

R_{x} (α) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

R_{y} (α) = [\begin{matrix} \cos α & 0 & \sin α & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin α & 0 & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

R_{z} (α) = [\begin{matrix} \cos α & - \sin α & 0 & 0 \\ \sin α & \cos α & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

将任意旋转分解为绕轴旋转： $R_{x y z} (α, β, γ) = R_{x} (α) R_{y} (β) R_{z} (γ)$ 称 $α, β, γ$ 为欧拉角（Euler angles）将旋转分别称为：

绕轴 $n$ 旋转角度 $α$ ：

R (n, α) = \cos (α) I + (1 - \cos α) n n^{T} + \sin (α) (\begin{matrix} 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{matrix})

默认轴 $n$ 的起点（即旋转的中心点）为原点，如果需要绕其他中心点旋转，则可进行平移→旋转→平移组合操作
最右侧的矩阵就是叉乘系数矩阵，即 $n \times a = (\begin{matrix} 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{matrix}) \times a$

如何获取一张图像（照片）：MVP 过程

由于拍摄结果只与相对位置的有关，同时移动相机和模型，与只移动模型是等价的，故一般让相机位置固定，参数如下：

位置在原点 $\vec{e} = (0, 0, 0)$
朝向为 $- z$ 方向， $\hat{g} = (0, 0, - 1)$
向上方向为 $y$ ， $\hat{t} = (0, 1, 0)$ 通过一系列变换，可以将任意状态的相机转化为标准位置上的相机。据此思路可推导出视图变换矩阵 $M_{v i e w} = R_{v i e w} T_{v i e w}$ ：